Dalla definizione appare evidente che la lampadina n-esima sara' accesa se n ha un numero pari di divisori. Ad esempio la lampadina 14 sara' accesa perche' i divisori di 14 sono 1, 2, 7 e 14; le rane numero 1, 2, 7 e 14 saranno infatti le sole a saltare sulla 14-esima lampadina.

Se pero' consideriamo i divisori di un numero n e li mettiamo in ordine crescente e' possibile notare il prodotto fra il primo e l'ultimo, il secondo e il penultimo, il terzo e il terzultimo e cosi' via e' sempre n; la spiegazione matematica e' che se x e' un intero che divide esattamente n allora anche y = n/x divide n e il prodotto di x e y vale n.

Ma quindi se un intero n ha un numero dispari di divisori cosa significa ? Se chiamiamo k il divisore "centrale" di un numero n allora si trova che n/k=k. Il motivo e' che un n/k deve essere un divisore ma non puo' essere nessun divisore minore o maggiore di k perche' questi (i minori e i maggiori) sono gia accoppiati a due a due perche' k e' il "centrale". Questo pero' implica che n e' un quadrato perfetto perche' da n/k = k si deduce n = k*k.

Ovviamente vale anche il contrario, se cioe' prendiamo un quadrato perfetto allora il numero dei suoi divisori dovra' essere per forza dispari perche' la radice risultando "accoppiata" con se stessa e' il "divisore centrale" del numero.

Quindi la conclusione e' che le lampadine spente saranno tutte e sole quelle il cui numero e' un quadrato perfetto.